Центробежная сила как двигатель

Центробежная сила как двигатель Центростремительная и центробежная силы Рассмотрим вращение камня массой m на веревке (рис. 4.8). Рис. 4.8 В каждый момент

Формулы[править | править код]

Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики, которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).

По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае — часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:

F → = − m [ ω → × [ ω → × R → ] ] = m ( ω 2 R → − ( ω → ⋅ R → ) ω → ) , {displaystyle {vec {F}}=-mleft[{vec {omega }}times left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]right]=mleft(omega ^{2}{vec {R}}-left({vec {omega }}cdot {vec {R}}right){vec {omega }}right),} vec{F}=-m left[ vec omega times left[ vec omega times vec R right] right] = m left( omega^2 vec R - left( vec omega cdot vec R right) vec omega right) ,

где:

F → {displaystyle {vec {F}}} vec{F} — центробежная сила приложенная к телу,   m {displaystyle m}  m — масса тела, ω → {displaystyle {vec {omega }}} vec{omega} — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика), R → {displaystyle {vec {R}}} vec{R} — радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.

Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как

F → = m ω 2 R 0 → {displaystyle {vec {F}}=momega ^{2}{vec {R_{0}}}} vec{F}= m omega^2 vec{R_0}

если использовать обозначение R 0 → {displaystyle {vec {R_{0}}}} vec{R_0} для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.

Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.

Вывод[править | править код]

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью v → n , {displaystyle {vec {v}}_{n},} vec {v}_n, а сама система движется поступательно с линейной скоростью v → 0 {displaystyle {vec {v}}_{0}} vec {v}_0 в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью ω → . {displaystyle {vec {omega }}.} vecomega .

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

v → = v → 0 + [ ω → × R → ] + v → n , {displaystyle {vec {v}}={vec {v}}_{0}+left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]+{vec {v}}_{n},} vec v= vec {v}_0 + left[ vec omega times vec R right] + vec {v}_n,

где R → {displaystyle {vec {R}}} vec R — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

d d t v → = d d t v → 0 + d d t [ ω → × R → ] + d d t v → n . {displaystyle {frac {d}{dt}}{vec {v}}={frac {d}{dt}}{vec {v}}_{0}+{frac {d}{dt}}left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]+{frac {d}{dt}}{vec {v}}_{n}.} frac{d}{dt}vec v= frac{d}{dt}vec {v}_0 + frac{d}{dt}left[ vec omega times vec R right] +frac{d}{dt} vec {v}_n.

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

d d t v → 0 = a → 0 , {displaystyle {frac {d}{dt}}{vec {v}}_{0}={vec {a}}_{0},} frac{d}{dt} vec {v}_0 = vec {a}_0 ,

d d t v → n = a → n + [ ω → × v → n ] , {displaystyle {frac {d}{dt}}{vec {v}}_{n}={vec {a}}_{n}+left[{vec {omega }}times {vec {v}}_{n}right],} frac{d}{dt} vec {v}_n = vec {a}_n + left[ vecomega times vec {v}_n right],

d d t [ ω → × R → ] = [ ε → × R → ] + [ ω → × d d t R → ] = [ ε → × R → ] + [ ω → × v → n ] + [ ω → × [ ω → × R → ] ] , {displaystyle {frac {d}{dt}}left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]=left[{vec {varepsilon }}times {vec {R}}right]+left[{vec {omega }}times {frac {d}{dt}}{vec {R}}right]=left[{vec {varepsilon }}times {vec {R}}right]+left[{vec {omega }}times {vec {v}}_{n}right]+left[{vec {omega }}times left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]right],} frac{d}{dt} left[ vecomega times vec R right] = left[ vec varepsilon times vec R right] + left[ vecomega times frac{d}{dt} vec R right] = left[ vec varepsilon times vec R right] + left[ vecomega times vec {v}_n right] + left[ vecomega times left[ vecomega times vec R right] right], где a → n {displaystyle {vec {a}}_{n}} vec {a}_n — линейное ускорение относительно системы, ε → {displaystyle {vec {varepsilon }}} vec varepsilon — угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

d d t v → = a → = a → 0 + a → n + [ ε → × R → ] + 2 [ ω → × v → n ] + [ ω → × [ ω → × R → ] ] . {displaystyle {frac {d}{dt}}{vec {v}}={vec {a}}={vec {a}}_{0}+{vec {a}}_{n}+left[{vec {varepsilon }}times {vec {R}}right]+2left[{vec {omega }}times {vec {v}}_{n}right]+left[{vec {omega }}times left[{vec {omega }}times {vec {R}}right]right].} frac{d}{dt}vec v = vec a=vec {a}_0 + vec {a}_n + left[ vec varepsilon times vec R right]  + 2left[ vec omega times vec {v}_n right]+ left[ vec omega times left[ vec omega times vec R right] right].

Последнее слагаемое и будет центростремительным ускорением.

Раскрыв двойное векторное произведение и положив R → {displaystyle {vec {R}}} vec{R} перпендикулярным оси вращения, получим:

a → c = ω → ( ω → R → ) − R → ω → 2 = − R → ω → 2 . {displaystyle {vec {a}}_{c}={vec {omega }}({vec {omega }}{vec {R}})-{vec {R}}{vec {omega }}^{2}=-{vec {R}}{vec {omega }}^{2}.} vec a_c = vec omega(vec omegavec R )-vec R vec omega^2=-vec R vec omega^2.

Описание силы с позиций физики

Очень часто люди, а иногда, страшно сказать, даже студенты технических вузов используют в разговоре такое выражение, как центростремительная сила, отождествляя его с центробежной. Безусловно, у двух терминов много общего, хотя это отнюдь не одно и то же. Чтобы получше представить себе, о каких явлениях идет речь, нужно вспомнить немного школьной физики.

Что такое инерция. Револьверная пуля весит около 9 граммов. Если подбросить её вверх примерно на метр и затем поймать рукой (скорость менее 1,0 м/с.), можно почувствовать лёгкий толчок. Та же пуля, выпущенная из оружия и летящая со скоростью около 500 м/с. с лёгкостью пробивает сосновую доску толщиной в дюйм. И наконец, кусочек космического мусора той же массы, летящий по орбите с первой космической скоростью (8 000 м/с.), как кусок масла, с лёгкостью прошьёт тяжёлый танк.

Любое тело, обладающее массой m и движущееся со скоростью V, обладает кинетической энергией:

формула кинетической энергии

Для подброшенной пули:

Е = 0,009∙12/2=0,0045 Дж.

Для выпущенной из пистолета:

Е = 0,009∙5002/2=1 125 Дж.

Для космического мусора:

Е = 0,009∙8 0002/2=288 000 Дж

Для того чтобы движущееся тело остановить, необходимо приложить такую же энергию; чтобы неподвижное тело разогнать до такой скорости, необходимо эту же энергию затратить.

Теперь представим, что некое тело, летящее по прямой, заставляют изменить направление движения.

центробежные силы

Изображённое на рисунке тело имеет скорость в направлении оси x – Vx, изменение направления его движения придаёт ему скорость в направлении оси ординат – Vy, на что, соответственно требуется затратить энергию:

центробежная сила

Наконец, вооружившись знаниями об инерции, можно вернуться к праще. Если коротко, то это камень (груз), вращающийся по круговой траектории на нити.

центробежная сила

Тело, обладающее массой m, не держи его нить, полетит прямо (что, собственно, и испытал на себе Голиаф), но, удерживаемое нитью, постоянно меняет своё направление. Очевидно, что это происходит под действием какой-то силы, которую и принято называть центростремительной – Fцс. В рассматриваемом случае – это сила натяжения нити.

Но почему в этом случае камень не летит в руку пращника? Всему виной третий закон гениального Ньютона, который гласит, что любая сила, приложенная к предмету, порождает силу противодействия, равную по величине и противоположную по направлению. Вот так и рождается центробежная сила Fцб.

Формулы

Обычно понятие центробежной силы используется в рамках классической (Ньютоновской) механики, которой касается основная часть данной статьи (хотя обобщение этого понятия и может быть в некоторых случаях достаточно легко получено для релятивистской механики).

По определению, центробежной силой называется сила инерции (то есть в общем случае — часть полной силы инерции) в неинерциальной системе отсчета, не зависящая от скорости движения материальной точки в этой системе отсчета, а также не зависящая от ускорений (линейных или угловых) самой этой системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.

Для материальной точки центробежная сила выражается формулой:

vec{F}=-m left[ vec omega times left[ vec omega times vec R right] right] = m left( omega^2 vec R - left( vec omega cdot vec R right) vec omega right) ,

где:

vec{F} — центробежная сила приложенная к телу, m — масса тела,vec{omega} — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной (направление вектора угловой скорости определяется по правилу буравчика),vec{R} — радиус-вектор тела во вращающейся системе координат.

Эквивалентное выражение для центробежной силы можно записать как

vec{F}= m omega^2 vec{R_0}

если использовать обозначение vec{R_0} для вектора, перпендикулярного оси вращения и проведенного от неё к данной материальной точке.

Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.

Вывод

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью vec {v}_n, а сама система движется поступательно с линейной скоростью vec {v}_0 в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью vecomega .

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

vec v= vec {v}_0 + left[ vec omega times vec R right] + vec {v}_n,

где vec R — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

frac{d}{dt}vec v= frac{d}{dt}vec {v}_0 + frac{d}{dt}left[ vec omega times vec R right] +frac{d}{dt} vec {v}_n.

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

frac{d}{dt} vec {v}_0 = vec {a}_0 ,

frac{d}{dt} vec {v}_n = vec {a}_n + left[ vecomega times vec {v}_n right],

frac{d}{dt} left[ vecomega times vec R right] = left[ vec varepsilon times vec R right] + left[ vecomega times frac{d}{dt} vec R right] = left[ vec varepsilon times vec R right] + left[ vecomega times vec {v}_n right] + left[ vecomega times left[ vecomega times vec R right] right], где vec {a}_n — линейное ускорение относительно системы, vec varepsilon — угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

frac{d}{dt}vec v = vec a=vec {a}_0 + vec {a}_n + left[ vec varepsilon times vec R right]  + 2left[ vec omega times vec {v}_n right]+ left[ vec omega times left[ vec omega times vec R right] right].

Последнее слагаемое и будет центростремительным ускорением.

Раскрыв двойное векторное произведение и положив vec{R} перпендикулярным оси вращения, получим:

vec a_c = vec omega(vec omegavec R )-vec R vec omega^2=-vec R vec omega^2.

Центробежная сила

Если взять теннисный мячик, привязать к нему резинку и раскручивать над головой, то по мере увеличения скорости вращения резинка будет растягиваться все больше и больше. Это работает центробежная сила. Она стремится порвать резинку и отбросить мячик подальше от Вас (от центра поворота).

С автомобилем происходит то же самое. Центробежная сила на вираже дороги пытается “отбросить” автомобиль от центра поворота на обочину. И зачастую это ей удается!

К счастью, вестибулярный аппарат человека прекрасно воспринимает радиальные ускорения. Прислушиваясь к своим ощущениям, водитель в состоянии определить критическую скорость движения на повороте, превышение которой может привести к боковому скольжению или опрокидыванию автомобиля.

Вместе с тем, Вы должны знать и учитывать то, что центробежная сила находится в квадратичной зависимости от скорости движения! Увеличение скорости в 2 раза приводит к увеличению центробежной силы в 4 раза!

Следовательно, если Вы хотите существенно уменьшить центробежную силу, то во время прохождения поворота Вам следует хотя бы немного снизить скорость движения. И наоборот, чтобы перевернуться, достаточно лишь немного прибавить “газу”, и центробежная сила быстро вырастает до той величины, которая позволяет ей “выбросить” машину на обочину.

Экспериментируя с критической скоростью на вираже дороги, нельзя забывать о траектории движения. Выбирать траекторию прохождения поворота следует с учетом возможного смещения, то есть немного ближе к центру поворота, чтобы у Вас оставался некоторый запас расстояния до обочины (рис. 61). Если центробежная сила достигнет опасной величины и Вам не захочется переворачиваться, то Вы всегда сможете ослабить эту силу, сместившись чуть дальше от центра поворота.

23.jpg

Рис. 61. Смещение автомобиля на повороте

Примеры из жизни

Не случайно в начале статьи рассматривается именно праща – самый простой пример действия центробежной силы, который проще простого смоделировать, попробовать и ощутить. Но кроме этого, данная физическая величина присутствует в целом ряде ежедневно окружающих нас вещей и предметов. Так, центробежная сила, работая в катушках ремней безопасности, делает поездки безопасными.

Любители рыбалки так без этой силы вообще не смогли бы заниматься любимым хобби и затем рассказывать нам небылицы. Например, заброс тяжёлой кормушки – один в один имитация боевой пращи. А спиннинг или карповая снасть в руке рыбака представляет собой не что иное, как то же самое оружие, только вместо смертоносного камня – блесна, воблер или джиг.

См. также[править | править код]

  • Сила Кориолиса
  • Инерция

См. также

  • Сила Кориолиса
  • Инерция

Примечания[править | править код]

  1. Вне контекста физики/механики/математики, например, в философии, публицистике или художественной литературе, а также иногда и в разговорной речи, слова центробежная сила могут нередко употребляться просто как обозначение некоего влияния, направленного прочь от некоторого «центра»; в таком употреблении это может быть никак не связано не только с каким-либо вращением, но и с понятием силы, как оно употребляется в физике.
  2. С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.,1967 г. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы.
  3. Воспользуемся формулой центростремительного ускорения.
  4. 1 2 Физическая энциклопедия, т.4 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.494 и стр.495
  5. 1 2 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер. и прим. А. Н. Крылова. М.: Наука, 1989
  6. Ключевым в этой формулировке является утверждение о наличии у предметов материального мира неких волевых качеств, что было в начале формирования научных представлений об окружающем мире весьма распространённым способом обобщения результатов наблюдения за явлениями природы и выяснения свойственных ей общих закономерностей . Примером такого анималистического представления о природе являлся бытовавший в натурфилософии принцип: «Природа боится пустоты», от которого пришлось отказаться после эксперимента Торричелли (Торричеллиева пустота)
  7. В связи с этим Максвелл заметил, что, с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким, апеллируя к тому, что он становится сладким не сам по себе, а лишь после того, что в него положен сахар.
  8. С. Э. Хайкин. Силы инерции и невесомость. М.: «Наука», 1967 г.
  9. При этом в каждый малый момент времени каждое из тел будет приближаться к центру на такое расстояние, какое равно разности расстояний между его траекторией и касательной в точке наблюдения. Иными словами, тела падают друг на друга, но всегда промахиваются.

Сила, поставленная на службу

Примеров, где центробежная сила выполняет полезную работу, множество. Кроме боевого метательного оружия, она прекрасно работает в современном спорте. Техника метания молота и в меньшей степени – диска основана на придании снаряду скорости путём именно раскручивания.

центробежная сила

Тысячи всевозможных машин имеют принцип действия, основанный на применении центробежной силы. Не нужно далеко ходить, достаточно вспомнить название одного из самых распространенных типов насосов. А название он носит «центробежный». Внутри т.н. «улитки» колесо с лопастями раскручивает какое-то рабочее тело (жидкость или газ). После чего у внешней стенки окружности насоса благодаря центробежным силам образуется область повышенного давления, а в центре улитки, где скорость вращения минимальна, – пониженного. Таким образом, транспортируемая среда, поступив в полость насоса через патрубок в центральной части, под давлением выбрасывается через выходное отверстие во внешней стенке.

центробежная сила

И это только один из примеров. Центробежные силы работают во всевозможных очистных машинах в сельском хозяйстве. Принцип сепарации (разделения) сыпучих материалов основан на разности энергий, полученных частицами из-за разной плотности и массы.

Ну и, наконец, пример самый что ни на есть бытовой, для созерцания которого не нужно ехать ни на стадион, ни на зерноток. Достаточно посмотреть, как работает самая обычная стиральная машина-автомат на отжиме. Бельё прижимается к стенкам барабана благодаря центробежной силе, да так, что после отжима на 1000 об./мин. бельё достаётся их машины почти сухим.

центробежная сила

Когда с ней борются

Но не всегда центробежная сила желательна. В некоторых случаях с ней приходится бороться. Детали больших размеров в станкостроении, корабельных механизмах в моторах карьерных самосвалов испытывают при вращении огромные нагрузки. Каждый более-менее тяжёлый элемент конструкции, закреплённый на вращающейся основе, стремиться оторваться и улететь в сторону, противоположную центру вращения. А крепление, например, вертолётных лопастей – вообще целая наука.

центробежная сила

Каждый автомобилист знает, что на скользкой дороге машину сносит так же в сторону, противоположную закруглению полотна. Иногда можно заметить, как на наиболее крутых поворотах дорожники специально делают уклон к центру кривизны.

Смотрите также

  • Балансировка вращающихся масс
  • Центробежный механизм ускорения
  • Принцип эквивалентности
  • Народная физика
  • Лагранжева точка
  • Уравнение Ламма

Центробежная сила в природе

Ярким примером проявления центробежной силы в природе могут служить приливы – отливы в экваториальных областях. Дело в том, что не только Луна вращается вокруг Земли. Наша планета, хоть и намного тяжелее своего спутника, но всё же немного «подтанцовывает» ему, чуть вращаясь вокруг него по небольшому радиусу. Это приводит к тому, что в двух областях – направленной к Луне и противоположной – образуются как бы горбы вод мирового океана.

центростремительная сила

К слову сказать, Луне от приливных сил досталось больше. Именно они остановили её вращение вокруг своей оси. Благодаря центробежной силе жители голубой планеты могут видеть лишь одну сторону своего естественного спутника.

внешняя ссылка

  • СМИ, связанные с центробежной силой, на Викискладе?
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...